전체 글 썸네일형 리스트형 10. 라플라스 변환 2 이전 글에서 라플라스 변환에 대해 간략히 알아봤습니다. 이번 글에서는 라플라스 변환의 충분조건에 대해 알아보면서 라플라스 변환에 대해 확실히 이해하고자 합니다 여기서 다룰 충분조건이란 라플라스 변환을 적용하기 위한 조건이기 때문에 만약 이 조건에 부합하지 않으면 라플라스 변환을 사용할 수 없습니다. 따라서 이번 글은 라플라스 변환의 핵심적인 개념을 담고 있기에 충분조건 대해서만 짧게 다루고 넘어가겠습니다. 먼저 라플라스 변환의 충분조건을 이해하기 위해 몇 가지 가정을 하겠습니다. f(t)가 무한대로 갈 때 발산하는 어떤 함수라고 가정합시다. 그리고 어떤 지수 함수 g(t) 하나가 있다고 가정합시다. 이때 지수함수는 다음과 같습니다. $$g(t)=Me^{ct}$$ 이때 f(t)와 g(t)의 크기를 비교할 .. 더보기 9. 라플라스 변환 1 이전 글들에서는 미분방정식의 종류와 형태를 익히고, 각 형태에서 방정식을 풀어 해를 구하는 법 등을 다루었습니다. 이번 글부터는 미분방정식을 풀지는 않지만, 방정식의 해를 대수적으로 구할 수 있는 라플라스 변환에 대해 다룰 것입니다. 라플라스 변환은 수학적으로 매우 중요하고, 이를 통해 여러 미분방정식을 간단히 다룰 수 있습니다. 따라서 라플라스 변환을 잘 익히는 것이 복잡한 미분방정식을 더 빠르게 해결하도록 해주는 방법입니다. 라플라스 변환의 공식을 다루기 전에 먼저 라플라스 변환이 무엇인지 짚고 넘어가면, 식을 다루고 있는 수학적 공간을 변화시켜 더 쉽게 계산할 수 있는 것이라고 정의할 수 있습니다. 기존에 미분방정식을 다룰 때는 방정식을 이루는 문자들에 대해서만 다루었습니다. 그러나 라플라스 변환은.. 더보기 8. 매개변수변환법과 특수해 이전 글에서 미정계수법을 활용하여 특수해를 구하고 일반해를 도출해 내는 과정에 대해 다뤄보았습니다. 이번 글에서는 특수해를 구하는 또 다른 방법인 매개변수변환법에 대해 알아보고, 2계 미분방정식에서 어떻게 해를 얻어내는 지를 알아보도록 하겠습니다. 매개변수변환법(Varitation of Parameters)이란 이전에 1계 미분방정식의 해를 구하는 방법에서 다룬 적이 있습니다. $$y_2=u(x)y_1$$ 다음과 같은 형식을 통해 두 번째 해를 얻어내었습니다. 고계 미분방정식에서도 동일합니다. 이 경우에는 2계 미분방정식에 대해서만 다루겠습니다. $$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$$ 여기 임의의 2계 미분방정식이 있고, 여기에 매개변수변환법을 적용해 보겠습니다. $$y_p=u_1(x)y_1(x).. 더보기 7. 미정계수법과 특수해 이전글에서 고계 미분방정식의 특성방정식을 통해 방정식의 일반해를 구하는 법에 대해 다뤄봤습니다. 이번 글에서는 미정계수법을 통해 특수해를 구하고 중첩원리로 일반해와 결합해 해를 나타내는 법을 다뤄보겠습니다. 이번 주제에 대해서는 일반적인 예시보다는 특정 미분방정식을 통하는 것이 더 이해하기 쉬울 듯하니 임의의 예시 2계 비제차 미분방정식 한 개를 가져와 보겠습니다. $$y''+6y'+5y=3x^2+4x+1$$ 먼저 특성방정식으로 제차 미분방정식의 해, 보조해를 구하겠습니다. $y''+6y'+5y=0$$ $$m^2+6m+5=0$$ $$m=-1, m=-5$$ $$y_c=c_1e^{-x}+c_2e^{-5x}$$ 다음으로 미정계수법으로 특수해를 구하는 법에 대해 알아보겠습니다. 미정계수법이란 비제차 미분방정식의.. 더보기 6. 특성 방정식과 일반해 이전 글에서 일반해와 특수해의 중첩 원리와 계수 축소법을 통해 해를 구하는 법에 대해 다뤘습니다. 이번 글에서는 특성 방정식을 통해서 2계 미분방정식의 해를 구하는 과정을 다뤄보고, 보다 고계에서는 어떻게 해를 구해야 하는가에 대해 알아보도록 하겠습니다. 이번에 다룰 특성 방정식은 많이 사용하기도 하고, 중요하기 때문에 외우고 있으면 공부하는 데 큰 도움이 될 것입니다. 먼저 2계 미분 방정식을 하나 적어보겠습니다. $$ay''+by'+cy=0$$ 이때의 해의 형태를 다음과 같다고 하고, 해를 식에 넣기 위해 미분을 해봅시다. $$y=e^{mx}, y'=me^{mx}, y''=m^2e^{mx} $$ $$ (am^2+bm+c)e^{mx}=0 $$ 보통은 로마자 lamda로 표기를 많이 하지만, 편의상 m으.. 더보기 5. 특수해의 중첩 원리와 계수 축소법 이전 글에서 초기 값 문제가 발전한 경계 값 문제에 대해 배웠고, 선형 독립과 함께 일반해의 중첩 원리를 다루었습니다. 이번 글에서는 이전 글에서 못 다룬 특수해를 구하는 법에 대해 알아보고, 나아가 고계 미분방정식을 쉽게 풀 수 있도록 해주는 계수 축소법을 다뤄보도록 하겠습니다. 나아가기 앞서 이전에 다룬 내용을 한 번 더 되짚고 넘어가겠습니다. 이전 글에서 론스키안을 통해 선형독립을 확인하여 독립일 경우 중첩 원리를 적용할 수 있다고 했습니다. 따라서 구해진 모든 일반 해 들을 중첩 원리를 통해 더하면 여러 해가 연결된 하나의 해로 만들 수 있습니다. 그렇다면, 특수해는 어떻게 해야 할까요? 특수해도 일반해를 더한 해에 함께 더하면 됩니다. $$y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots +c_ny_n+.. 더보기 4. 경계값 문제와 중첩 원리, 선형 독립 이전 글에서는 기본적인 선형 1계 미분방정식에 대한 해와 해법들을 다루었습니다. 이번 글부터는 보다 고차원인 2계부터 고계 미분방정식들을 다뤄볼 것이고, 초기값 문제의 고계 버전인 경계값 문제에 대해 알아보고, 미분방정식의 선형성에 대해 확실히 짚고 넘어가겠습니다. 이전 글에서 봤다시피 미분방정식의 해를 구할 때는 그 해의 존재성과 유일성을 보여야 합니다. 이는 고계 미분방정식에도 동일하게 적용하면 됩니다. 미분방정식을 풀어 일반해를 구하여 존재성을 증명하고, 경계값 문제를 풀어서 특수해를 구해 유일성을 증명하면, 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다. 앞으로 자주 보게 될 고계 미분방정식과 초기 조건들의 형태를 적고 시작해 보도록 하겠습니다. $$ a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}.. 더보기 3. 선형방정식과 미분방정식의 해법 2 이전 글에서 선형미분방정식과 미분방정식의 해법 두 가지를 알아봤습니다. 이번 글에서는 이전에 못 다뤘던 매개변수변환법과 치환법에 대해 알아보겠습니다. 먼저 매개변수변환법(Variation of Parameters)을 알아보기 전에 못 다뤘던 선형미분방정식 공식에 대해 몇가지 더 다뤄보겠습니다. $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$$ 다음의 선형 미분방정식의 제차 미분방정식 부분만 때서 보면 $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$ $$\frac{1}{y}dy=-P(x)dx$$ $$\int \frac{1}{y}dy=-\int P(x)dx$$ $$\ln y=-\int P(x)dx+C$$ $$y_c=e^{-\int P(x)dx+C}=ce^{-\int P(x)dx} $$ 위 공식을 사용하면 간.. 더보기 이전 1 2 3 다음
