7. 미정계수법과 특수해

 

이전글에서 고계 미분방정식의 특성방정식을 통해 방정식의 일반해를 구하는 법에 대해 다뤄봤습니다.

이번 글에서는 미정계수법을 통해 특수해를 구하고 중첩원리로 일반해와 결합해 해를 나타내는 법을 다뤄보겠습니다.

이번 주제에 대해서는 일반적인 예시보다는 특정 미분방정식을 통하는 것이 더 이해하기 쉬울 듯하니

임의의 예시 2계 비제차 미분방정식 한 개를 가져와 보겠습니다.

 

$$y''+6y'+5y=3x^2+4x+1$$

먼저 특성방정식으로 제차 미분방정식의 해, 보조해를 구하겠습니다.

$y''+6y'+5y=0$$

$$m^2+6m+5=0$$

$$m=-1,   m=-5$$

$$y_c=c_1e^{-x}+c_2e^{-5x}$$

 

다음으로 미정계수법으로 특수해를 구하는 법에 대해 알아보겠습니다.

미정계수법이란 비제차 미분방정식의 우변의 식의 형식과 임의의 계수를 지닌 식을 특수해로 만들고,

미분방정식에 넣고 풀어 좌변의 임의의 식의 계수와 우변의 정해져 있는 식의 계수를 비교하여

특수해를 찾는 방법을 말합니다.

쉽게 말해 우변이 만약 x에 대한 다항식으로 이루어져 있다면,

특수해도 임의의 계수를 지닌 x에 대한 다항식으로 만들어 해를 구할 수 있고,

삼각함수 혹은 지수함수 등의 혼합으로 만들어져 있다면,

그에 맞는 임의의 계수를 식들의 합으로 만들어 해를 구할 수 있습니다.

이렇게 임의의 계수를 통해서 구하기 때문에 이를 정해지지 않은 계수로 구한다고 하여 미정계수법이라고 부릅니다.

다시 위의 식으로 돌아가 보겠습니다.

방정식의 우변은 x에 대한 다항식이므로

특수해도 x에 대한 다항식의 형식을 보일 테니 임의의 다항식을 먼저 만듭니다.

$$y_p=Ax^2+Bx+C$$

이 특수해를 비제차 미분방정식의 넣으면,

$$2A+6(2Ax+B)+5(Ax^2+Bx+C)=5Ax^2+(12A+5B)x+(2A+6B+5C)=3x^2+4x+1$$

$$5A=3$$

$$12A+5B=4$$

$$2A+6B+5C=1$$

다음과 같이 계수들을 서로 모은 뒤 비교하면 특수해의 임의의 계수를 구하여 해를 얻을 수 있습니다.

$$A=\frac{3}{5},    B=-\frac{16}{25},    C=\frac{91}{125}$$

$$y_p=\frac{3}{5}x^2-\frac{16}{25}x+\frac{91}{125}$$

이렇게 특수해를 구할 수 있습니다.

따라서 위 식의 일반해는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$y=y_c+y_p=c_1e^{-x}+c_2e^{-5x}+\frac{3}{5}x^2-\frac{16}{25}x+\frac{91}{125}$$

 

이때 유의해야 할 점은 방정식의 우변이 x에 대한 이차함수이고, 좌변에 가장 미분이 적은 항이 y이므로

특수해는 x의 이차함수로 나타내야 한다는 점입니다.

만약 좌변에 미분이 가장 적은 항이 y'이라고 가정한다면,

모든 항들의 합이 최소 한 번 미분했을 때 이차함수가 만들어져야 하므로,

특수해는 x의 삼차함수로 만들어져야 합니다.

이차방정식으로 만들어진다면, 우변의 x의 2 제곱을 특수해를 통해 나타낼 수 없기 때문입니다.

$$y''+y'=x^2+x+1,    y_p=Ax^2+Bx+C$$

$$2A+(2Ax+B)=x^2+x+1$$

위와 같이 x^2에 해당하는 항과 계수가 없어서 문제를 풀 수 없습니다.

하지만, 이때 만약 특수해가 삼차함수라면,

$$y''+y'=x^2+x+1,     y_p=Ax^3+Bx^2+Cx+D$$

$$(6Ax+2B)+(3Ax^2+2Bx+C)=x^2+x+1$$

$$3A=1$$

$$6A+2B=1$$

$$2B+C=1$$

$$A=\frac{1}{3},    B=-\frac{1}{2},    C=2$$

$$y_p=\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{2}x+2$$

이렇게 특수해를 구할 수 있다.

따라서 임의의 특수해를 정할 때는 우변의 형식을 따르면서 좌변의 미분항과 맞는 적합한 해를 선택해야 합니다.

 

다음으로 일반해에도 적용되었던 중첩원리에 대해 알아보겠습니다.

$$y''+3y'+2y=2x^2+x+1+3e^x+\sin 5x$$

위의 식의 우변은 매우 복잡하게 나타나 있습니다.

하지만, 이전 글에서 특수해도 중첩원리를 통해 합쳐질 수 있다는 것을 배웠습니다.

여기서도 마찬가지로 우변의 각 항들에 맞는 해를 구하고 합치면 하나의 해로 나타낼 수 있습니다.

$$y''+3y'+2y=2x^2+x+1$$

$$y''+3y'+2y=3e^x$$

$$y''+3y'+2y=\sin 5x$$

이렇게 세 개의 방정식으로 나눠서 풀 수 있습니다.

일반해는 위에서 처럼 특성방정식으로 구하면 됩니다.

하지만, 여기서 중요한 것은 중첩원리이기 때문에 과정은 생략하도록 하겠습니다.

$$y_c=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}$$

 

첫 번째 방정식을 다항식이므로 푸는 과정은 위와 동일합니다.

$$y_{p_1}=Ax^2+Bx+C$$

$$2A+3(2Ax+B)+2(Ax^2+Bx+C)=2Ax^2+(6A+2B)x+(2A+3B+2C)=2x^2+x+1$$

$$2A=2$$

$$6A+2B=1$$

$$2A+3B+2C=1$$

$$A=1,    B=-\frac{5}{2},     C=\frac{13}{4}$$

$$y_{p_1}=x^2-\frac{5}{2}x+\frac{13}{4}$$

 

 두 번째 방정식은 지수함수입니다.

따라서 특수해도 지수함수의 형태를 보여줄 것입니다.

$$y_{p_2}=Ae^x$$

$$Ae^x+3Ae^x+2Ae^x=6Ae^x=3e^x$$

$$A=\frac{1}{2}$$

$$y_{p_2}=\frac{1}{2}e^x$$

 

세 번째 방정식은 삼각함수입니다.

마찬가지로 특수해도 삼각함수의 형태를 지닙니다.

하지만, 삼각함수는 두 번 미분하면 처음의 형태와 같아지는 특성을 지니고 있어 사인과 코사인을 함께 사용합니다.

$$y_{p_3}=A\sin 5x+B\cos 5x$$

$$(-25A\sin 5x-25B\cos 5x)+3(5A\cos 5x-5B\sin 5x)+2(A\sin 5x+B\cos 5x)$$

$$=(-23A-15B)\sin 5x+(15A-23B)\cos 5x=\sin 5x$$

$$-23A-15B=1$$

$$15A-23B=0$$

$$A=-\frac{23}{754},     B=-\frac{15}{754}$$

$$y_{p_3}=-\frac{23}{754}\sin 5x-\frac{15}{754}\cos5x$$

 

이렇게 세 개의 방정식에서 각각의 특수해를 구했습니다.

이를 중첩원리를 통해 합하면 다음과 같은 특수해가 도출되고 이를 보조해와 결합하면,

미분방정식의 일반해가 만들어집니다.

$$y_p=y_{p_1}+y_{p_2}+y_{p_3}=x^2-\frac{5}{2}x+\frac{13}{4}+\frac{1}{2}e^x-\frac{23}{754}\sin 5x-\frac{15}{754}\cos 5x$$

$$y=y_c+y_p=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}+x^2-\frac{5}{2}x+\frac{13}{4}+\frac{1}{2}e^x-\frac{23}{754}\sin 5x-\frac{15}{754}\cos 5x$$

 

추가적으로 한 가지만 더 짚고 넘어가겠습니다.

$$y''-2y'+y=3e^x$$

다음의 미분방정식의 특수해를 구하려면 위와 마찬가지로 구하면 됩니다.

$$y_p=Ae^x$$

그런데 이식을 방정식에 넣으면, 모순되는 상황에 직면하게 됩니다.

$$0=3e^x$$

이 이유는 이때의 보조해가 특수해와 동일한 형태를 하고 있기 때문입니다.

$$y_c=c_1e^x+c_2xe^x$$

만약 특수해가 위와 같다면, 보조해와 합쳐질 수 있으므로, 특수해가 성립되지 않습니다.

따라서 특수해는 보조해와 구별되기 위해 x를 곱하여 나타내고 방정식을 다시 푼다면,

$$y_p=Axe^x$$

$$A(x+2)e^x-2A(x+1)e^x+Axe^x=0=3e^x$$

또다시 모순되는군요?

이때 특성방정식이 중근이기 때문에 보조해에 이미 x가 곱한 해가 존재하기 때문에 다시 특수해와 합쳐질 수 있습니다.

다시 한번 더 x를 곱하여 방정식을 풀면,

$$y_p=Ax^2e^x$$

$$A(x^2+4x+2)e^x-2A(x^2+2x)e^x+Ax^2e^x=2Ae^x=3e^x$$

$$2A=3,   A=\frac{3}{2}$$

$$y_p=\frac{3}{2}x^2e^x$$

미정계수법으로 특수해를 구할 때는 일반해를 먼저 구하고 특수해와 중첩되는 곳이 없는지를 확인한 후

특수해를 구해야 한다는 것을 확인할 수 있었습니다.

 

마지막으로 미정계수법에 사용되는 특수해의 예시들을 몇 가지 살펴보고 넘어가겠습니다.

아래 예시들은 참고할 사항이며, 위와 같은 예외 때문에 항상 저 형태를 보이는 것은 아닙니다.

$$f(x)$$	$$y_p$$
$$c$$	$$A$$
$$ax+b$$	$$Ax+B$$
$$ax^2+bx+c$$	$$Ax^2+Bx+C$$
$$ax^n+bx^{n-1}+ \cdots +c$$	$$Ax^n+Bx^{n-1}+\cdots +C$$
$$\sin ax$$	$$A\sin ax+ B\cos ax$$
$$\cos bx$$	$$A\sin bx+B\cos bx$$
$$e^{ax}$$	$$Ae^{ax}$$
$$(ax+b)e^{cx}$$	$$(Ax+B)e^{cx}$$
$$e^{ax}\sin bx$$	$$Ae^{ax}\sin bx+Be^{ax}\cos bx$$
$$ax^n\sin bx$$	$$(Ax^n+Bx^{n-1}+\cdots +C)\sin bx+(Dx^n+Ex^{n-1}+\cdots +F)\cos bx$$
$$ax^ne^{bx}\sin cx$$	$$(Ax^n+Bx^{n-1}+\cdots +C)e^{bx}\sin cx+(Dx^n+Ex^{n-1}+\cdots + F)e^{bx}\cos cx$$

 

이렇게 이번 글에서는 미정계수법을 활용해 특수해를 구하는 방법에 대해 알아보았고,

보조해와 특수해를 통해 일반해를 도출해 내는 과정도 확인해 보았습니다.

이와 함께 특수해의 미정계수법의 특수해 형식의 예시를 다뤄보면서

일부 예외의 경우에 예시대로 되지 않는다는 사실을 확인할 수 있었습니다.

다음 글에서는 특수해를 구하는 다른 방법인 매개변수변환법을 알아보고,

고계 미분방정식의 해를 어떻게 구하는지에 대해 알아보겠습니다.

끝까지 읽어주셔서 감사합니다.