10. 라플라스 변환 2

 

 이전 글에서 라플라스 변환에 대해 간략히 알아봤습니다.

이번 글에서는 라플라스 변환의 충분조건에 대해 알아보면서 라플라스 변환에 대해 확실히 이해하고자 합니다

여기서 다룰 충분조건이란 라플라스 변환을 적용하기 위한 조건이기 때문에

만약 이 조건에 부합하지 않으면 라플라스 변환을 사용할 수 없습니다.

따라서 이번 글은 라플라스 변환의 핵심적인 개념을 담고 있기에 충분조건 대해서만 짧게 다루고 넘어가겠습니다.

 

먼저 라플라스 변환의 충분조건을 이해하기 위해 몇 가지 가정을 하겠습니다.

f(t)가 무한대로 갈 때 발산하는 어떤 함수라고 가정합시다.

그리고 어떤 지수 함수 g(t) 하나가 있다고 가정합시다. 이때 지수함수는 다음과 같습니다.

$$g(t)=Me^{ct}$$

이때 f(t)와 g(t)의 크기를 비교할 때, 만약 여기서 f(t)가 어떤 다항식이라고 한 번 더 가정합니다.

$$f(t)=At^B$$

이때 f(t)와 g(t)의 크기를 비교할 때는 로피탈의 정리를 간단히 사용한다면,

f(t)는 결국 어떤 상수로 수렴할 것이고, g(t)는 여전히 지수함수 꼴을 유지할 것이므로,

이때 f(t)보다 g(t)의 크기가 더 크다고 할 수 있습니다.

또한, 임의의 t의 값을 T라고 할 때, 상수 c가 존재하고, M과 T가 0보다 크다면,

$$|f(t)|\leq Me^{ct},           t\geq T$$

다음과 같은 관계를 지니게 됩니다.

이러한 관계에 대해 함수 f(t)가 지수적 차수(exponential order) 가진다고 말합니다.

만약 지수함수 g(t)가 함수 f(t)의 발산을 막지 못해 수렴하지 않는다면, 이는 지수적 차수가 있다고 할 수 없습니다.

 

지금까지 배운 라플라스 변환을 하기 위한 조건을 간단하게 요약하자면,

첫 번째, 현재 라플라스 변환을 0 이상에 대해서만 다루고 있으므로, t는 0 이상이라는 범위 안에 존재해야 하고,

또한, 그 안에서 부분적으로 연속해야 합니다.

두 번째, 함수 f(t)는 t의 값이 T보다 클 때, 지수적 차수를 가져야 합니다.

만약 지수적 차수를 가질 경우 다음 라플라스 적분 식의 내부 부분이 수렴하기 때문에, 적분값을 구할 수 있습니다.

$$\int_0^{\infty } f(t)e^{-st}dt$$

따라서 라플라스 변환 조건은 다음과 같습니다.

$$\text{1. piecewise continuous on } [0, \infty )$$

$$\text{2. f(t) -> exponential order } (|f(t)|\leq Me^{ct} \text{ for all } t\geq T)$$

 

이에 대한 결과로 f(t)가 0 이상의 범위에서 부분적으로 연속이고,

지수적 차수를 가진다면, 라플라스 변환의 결과는 s가 c보다 클 때 존재한다.

$$[\text{If }f(t)\text{ is piecewise continuous on the interval }[0, \infty)\text{ and of exponential order, }$$

$$\text{then }L\{f(t)\}\text{ exists for }s>c]$$

 

이번 글은 충분조건만 다룬 짧은 글이지만, 이전 글과 마찬가지로 매우 중요하기 때문에

외우기를 권장하는 것보다는 이것에 관한 것들은 공학계라면 반드시 외워야만 한다고 생각합니다.

따라서 여기까지 읽으신 분들은 여러 번 다시 읽어보시면서 확실히 숙지하길 추천드립니다.

다음글에서는 이번에 못 다뤘던 라플라스 변환을 역변환하여 s에 대한 식을 t에 대한 식으로 바꾸는 과정과

지금 이를 다루고 있는 이유인 미분방정식의 해법을 다뤄보도록 하겠습니다.

끝까지 읽어주셔서 감사합니다.