11. 라플라스 변환의 역변환과 미분 변환

 

이전 글들에서 라플라스 변환에 대한 기본적인 것들을 주로 다뤘습니다.

이번 글에서는 라플라스 변환으로 t-공간에서 s-공간으로 이동시킨 후 다시 s-공간에서 t-공간으로 이동시키는 역변환을 다뤄보고, 라플라스 변환으로 미분방정식을 어떻게 쉽게 풀고 문제를 해결하는 지를 알아보도록 하겠습니다.

 

역변환을 다루기 전에 라플라스 변환의 형식을 간단히 나타내겠습니다.

$$L\{f(t)\}=F(s)$$

다음과 같이 t-공간의 함수 f(t)를 라플라스 변환하여 s-공간의 함수 F(s)로 변환시켰습니다.

역변환은 이 과정이 정반대라고 생각하시면 됩니다.

t에서 s가 아닌 s에서 t로 변환하는 것입니다.

따라서 위의 함수도 역함수를 취하여 나타내면,

$$f(t)=L^{-1}\{F(s)\}$$

F(s)라는 함수를 역변환하여 f(t)라는 함수로 나타내는 수식입니다.

따라서 결과 또한 이전에 보여줬던 변환에 대한 결과와 정반대입니다.

결과들은 아래에 표로 나타내겠습니다.

$$L^{-1}\{F(s)\}$$	$$f(t)$$
$$L^{-1}\left\{\frac1{s}\right\}$$	$$1$$
$$L^{-1}\left\{\frac{n!}{s^{n+1}}\right\}\text{, n=1, 2, 3,}\cdots$$	$$t^n$$
$$L^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}$$	$$e^{at}$$
$$L^{-1}\left\{\frac{k}{s^2+k^2}\right\}$$	$$\sin kt$$
$$L^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+k^2}\right\}$$	$$\cos kt$$
$$L^{-1}\left\{\frac{k}{s^2-k^2}\right\}$$	$$\sinh kt$$
$$L^{-1}\left\{\frac{s}{s^2-k^2}\right\}$$	$$\cosh kt$$

 

위와 같은 결과들로 라플라스 역변환과 변환이 서로 교환가능함을 확인 할 수 있습니다.

이제 다음으로 라플라스 역변환에 대해 몇 가지 짚어본 후 미분방정식으로 넘어가겠습니다.

 

먼저 라플라스 변환에서 가능했던 선형 변환이 역변환에서도 가능한지 확인해 보겠습니다.

$$L^{-1}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha L^{-1}\{F(s)\}+\beta L^{-1}\{G(s)\}$$

만약 F(s)와 G(s)가 f(t)와 g(t)의 변환일 때 이렇게 선형 변환이 가능합니다.

이 부분은 확실히 이해하는 편이 라플라스 변환을 다룰 때 유용하므로 잘 외워두시길 바랍니다.

 

다음으로 한 가지 예시를 들어서 역변환 시 유용한 방법을 알려드리겠습니다.

부분 분수{Partial Fraction)을 이용하는 방법으로 다음의 예시를 보시죠.

$$L^{-1}\left\{\frac{s^+3s+2}{s^3-2s^2-s+2}\right\}$$

위 식을 부분 분수를 이용하여 푼다면, 과정과 결과는 아래와 같습니다.

$$\frac{s^2+5s+6}{(s+1)(s-1)(s-2)}=\frac{a}{s+1}+\frac{b}{s-1}+\frac{c}{s-2}$$

$$=\frac{a(s-1)(s-2)+b(s+1)(s-2)+c(s+1)(s-1)}{(s+1)(s-1)(s-2)}$$

$$(a+b+c)s^2+(-3a-b)s+(2a-2b-c)=s^2+5s+6$$

$$a+b+c=1$$

$$-3a-b=5$$

$$2a-2b-c=6$$

$$a=\frac{1}{3}\text{, }b=-6\text{, }c=\frac{20}{3}$$

$$L^{-1}\left\{\frac{1}{3}\frac{1}{s+1}+\frac{-6}{s-1}+\frac{20}{3}\frac{1}{s-2}\right\}$$

$$=\frac{1}{3}L^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}-6L^{-1}\left\{\frac{1}{s-1}\right\}\frac{20}{3}L^{-1}\left\{\frac{1}{s-2}\right\}$$

이제 위의 표를 보면서 역변환시키면 다음과 같이 나타납니다.

$$=\frac{1}{3}e^{-t}-6e^t+\frac{20}{3}e^{2t}$$

이와 같이 부분 분수를 잘 사용하신다면, 역변환도 쉽게 풀 수 있습니다.

 

마지막으로 지금까지 라플라스 변환을 배운 핵심적인 이유인 미분방정식의 해법을 다뤄보겠습니다.

먼저 임의의 함수 f(t)의 미분형을 라플라스 변환 하겠습니다.

$$L\{f'(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-st}f'(t)dt=\left.e^{-st}f(t)\right\rvert_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$$

$$=-f(0)+sL\{f(t)\}=sF(s)-f(0)$$

$$L\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$$

다음과 같이 라플라스 변환을 통해 함수 f'(t)를 함수 f(t)의 라플라스 변환된 형태로 나타낼 수 있습니다.

이는 보다 고계 미분방정식에서도 적용될 수 있습니다. 이번에는 2계 미분으로 가보겠습니다.

$$L\{f''(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-st}f''(t)dt=\left.e^{-st}f'(t)\right\rvert_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}f'(t)dt$$

$$=-f'(0)+sL\{f'(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$$

$$L\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$$

좀 더 고계에서는 다음과 같이 표현할 수 있을 것입니다.

$$L\{f^{(n)}\}=s^{(n)}F(s)-s^{(n-1)}f(0)-s^{(n-2)}f'(0)-\ldots-f^{(n-1)}(0)$$

이렇게 라플라스 변환을 사용해 미분방정식을 풀 때의 조건은 라플라스 변환의 조건과 동일합니다.

먼저 미분이 가능해야 하므로 0과 무한 사이의 공간에서 연속이어야 합니다.

또한, 각각의 미분방정식은 라플라스 변환을 위해 지수적 차수를 지녀야 하고,

함수 f 가 n번째 미분되었을 때 0과 무한대 사이에서 부분적으로 연속인 구간이 있어야 합니다.

$$\text{If }f, \text{ }f',\text{ },\ldots,f^{(n-1)}\text{ are continuous on }[0,\text{ }\infty)\text{ and are of exponential order}$$

$$\text{and if }f^{(n)}(t)\text{ is piecewise continuous on }[0, \text{ }\infty)$$

 

이렇게 배운 라플라스 변환을  미분방정식에 어떻게 적용하여 풀 수 있을 지 간단한 예시를 통해 풀어보도록 하겠습니다.

$$\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+4y=e^{2t}+10\sin 3t$$

먼저 라플라스 변환을 적용해 봅시다.

$$L\left\{\frac{d^2y}{dx^2}\right\}+3L\left\{\frac{dy}{dx}\right\}+4L\{y\}=L\{e^{2t}\}+10L\{\sin 3t\}$$

다음으로 위에서 배운대로 미분된 함수 y를 원래의 함수 y로 만들어 봅시다.

이때 y를 라플라스 변환한 s에 대한 함수를 Y로 표기하겠습니다.

$$s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+3sY(s)-3y(0)+4Y(s)=\frac{1}{s-2}+\frac{30}{s^2+9}$$

$$(s^2+3s+4)Y(s)-(s+3)y(0)-y'(0)= \frac{1}{s-2}+\frac{30}{s^2+9}$$

이렇게 정리할 수 있습니다.

이제 y(0)와 y'(0)의 값이 문제에서 주어졌다면 해당 값을 넣고 Y(s)만 좌변에 남게 만들고 역변환시키면,

y(t)에 대한 식, 즉 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.

여기서는 과정만을 이해하기 위해서 초기값 문제를 만들지 않고 미분방정식만을 적었습니다.

이렇게 풀면 기존에 배웠던 미분방정식을 푸는 방법들 보다 어쩌면 더 쉽게 풀 수도 있을 것입니다.

이를 반드시 외워두도록 합시다.

 

마지막으로 짚고 넘어갈 부분은 역변환하기 위해서는 s에 대한 어떤 함수가 라플라스 변환인 지를 확인해야 합니다.

만약 s에 대한 어떤 함수가 라플라스 변환이 아닌 그냥 함수라면 이는 역변환이 불가능합니다.

이를 확인하는 방법을 다뤄보겠습니다.

먼저 라플라스 변환의 기본 조건인 연속과 지수적 차수를 지켰다고 가정했을 때,

s가 무한대로 가는 극한으로 보내면, s에 대한 함수 F(s)는 0이 나와야 합니다.

이는 다음과 같이 충분조건을 일부 이용하여 증명할수 있습니다.

$$|L\{f(t)\}\leq \int_0^{\infty}e^{-st}|f(t)|dt\leq M\int_0^{\infty}e^{-st}e^{ct}dt=\left.-M\frac{e^{-(s-c)t}}{s-c}\right\rvert_0^{\infty}=\frac{M}{s-c}$$

$$\text{ for }x>c.\text{ As }s \rightarrow \infty,\text{ we have }|L\{f(t)\}|\rightarrow 0,\text{ and so }L\{f(t)\}\rightarrow 0.$$

이러한 결과로 인해

$$F_1(s)=1,\text{ }F_2(s)=\frac{s}{s+1} $$

위와 같은 것들은 0이 되지 못하므로 라플라스 변환이 아닙니다.

 

이렇게 이번글에서는 라플라스 변환의 역변환과 미분변환을 다뤄봤습니다.

이를 통해 이제 미분방정식을 보다 쉽게 풀어 해를 구할 수 있는 방법을 한 가지 더 알게되었습니다.

다음글에서는 라플라스 변환에 대해 좀 더 깊게 알아보고자 합니다.

따라서 s 공간에서의 이동 정리와 같은 라플라스 변환의 특성에 대해 좀 더 다뤄보겠습니다.

끝까지 읽어주셔서 감사합니다.