2. 선형방정식과 미분방정식의 해법 1

 

이전 글에서 미분방정식의 초기 값 문제와 네 가지의 해에 대하여 다뤄보았습니다.

이번 글에서는 해를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

그전에 먼저 선형 방정식에 대해 몇 가지 짚어보고 넘어가겠습니다.

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$$

다음의 선형 미분방정식을 볼 때 f(x)의 값이 0인 경우를 제차 미분방정식(Homogeneous Differential Equation),

0이 아닌 경우를 비제차 미분방정식(Nonhomogeneous Differential Equation)이라고 부릅니다.

두 방정식은 앞서 언급한 미분방정식을 나누는 세 가지 종류(유형, 차수, 선형성)에서는 동일한 방정식입니다.

차이가 생기는 부분은 0인지 아닌지 뿐입니다.

다음으로 해를 구해보겠습니다.

대부분의 미분방정식은 비제차의 형태를 한 경우가 많고, 비제차의 경우 제차 미분방정식과 형태가 동일합니다.

따라서 방정식의 해는 제차와 비제차 미분방정식의 해를 합한 것과 같습니다.

따라서 먼저 제차 미분방정식의 해를 구하면, 이때는 특정 값(초기 값 문제)이 주어지지 않았으므로

계수에 따라 무한하게 나타나는 해의 형태를 보여주고,

이를 일반해(General Solution, Complementary Solution)라고 합니다.

또한, 비제차 미분방정식의 해는 f(x)의 값이 주어졌으므로

특정한 해가 구해지고, 이를 특수해(Particular Solution)이라 합니다.

따라서 선형 미분방정식의 해는 일반해와 특수해의 합으로 구할 수 있습니다.

$$y=y_c+y_p$$

이는 미분방정식이 선형이기 때문에 나타나는 특성입니다.

$$\frac{d}{dx}(y_c+y_p)+P(x)(y_c+y_p)=f(x)$$

$$(\frac{dy_c}{dx}+P(x)y_c)+(\frac{dy_p}{dx}+P(x)y_p)=f(x)$$

첫 번째 항은 제차 미분방정식의 값이므로 0, 두 번째 항은 비제차 미분방정식의 값이므로 f(x)

이므로 이 식은 성립합니다.

 

선형 미분방정식의 특성에 대해 알아봤으니 이제 미분방정식을 푸는 방법을 다뤄보겠습니다.

이 글은 기본적으로 공학수학 책을 바탕으로 작성되어, 이번에 다룰 대표 예시와 해법은 총 네 가지로,

 변수분리형, 완전 미분형, 매개변수변환법과 치환법입니다.

 

첫 번째 해법은 변수분리형(Seperable Equation)입니다. 먼저 대표 형식을 보겠습니다.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}$$

다음과 같은 형식일 때 변수분리형을 적용할 수 있습니다.

$$g(y)dy=f(x)dx $$

$$G(y)=F(x)+C$$

추가로 한 가지 예시를 더 살펴보자면,

$$f(x)dy+g(y)dx=0$$

$$\frac{1}{g(y)}dy= -\frac{1}{f(x)}dx$$

$$\int \frac{1}{g(y)}dy=-\int \frac{1}{f(x)}dx$$

이렇게 변수분리형은 간단히 미분방정식을 풀 수 있습니다만, 변수를 한 곳으로 모아야 한다는 점에서

대부분의 미분방정식을 풀 수 없다는 한계가 있습니다.

 

두 번째로 알아볼 해법은 완전 미분형(Exact Equation)입니다.

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

완전 미분형은 다음과 같은 형식을 취하고 있습니다.

완전 미분형을 통해 해를 구하는 방법은 먼저 어떤 함수 f 존재한다는 가정에서 시작합니다.

이때 f를 x와 y에 대해 각각 미분한 것, 즉 편미분 한 것을 각각 M(x, y)과 N(x, y)라고 하면,

M을 y에 대해 편미분 한 것과 N을 x에 대해 편미분 한 것이 같다는 것에서 해를 구하는 것입니다.

$$M(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}, N(x, y)= \frac{\partial f}{\partial y} $$

$$ M(x, y) dx+N(x, y) dy= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$$

M을 x에 대하여 적분하거나 N을 y에 대하여 적분할 경우

f라는 음함수(Implicit function) 형태의 해를 구할 수 있습니다.

이때 유의할 점은 해가 기존에 구하던 y=f(x)의 양함수(Explicit function) 꼴이 아닌

f(x, y)=c의 음함수의 형태라는 것입니다.

하지만, 만약 M을 y로 미분한 것과 N을 x로 편미분 한 것이 다르다면, 않으면 어떻게 해야 할까요?

이때 사용하는 것이 적분인자(Integrating Factor)입니다.

적분인자란 x 혹은 y를 변수로 가지는 임의의 식으로, M과 N에 곱해서 각각 y와 x로 편미분 했을 때

그 값이 같아지게 하여 완전 미분형이 성립되도록 합니다.

다음은 이때 적분인자를 구하는 식을 나타낸 것입니다.

$$적분인자: \mu(x,y)(x 혹은 y 중 1개의 변수를 지닌다.)$$

$$\mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0$$

$$(\mu M)_y=(\mu N)_x$$

$$\mu M_y+\mu_yM=\mu N_x+\mu_xN$$

$$\mu(M_y-N_x)=\mu_xN-\mu_yM$$

$$\mu(x,y)=\mu(y) / \mu(x)$$

$$\mu_x=0 / \mu_y=0$$

$$\frac{N_x-M_y}{M}\mu=\frac{d\mu}{dy} / \frac{M_y-N_x}{N}\mu=\frac{d\mu}{dx}$$

$$\mu(y)=e^{\int\frac{N_x-M_y}{M}dy} / \mu(x)=e^{\int\frac{M_y-N_x}{N}dx} $$

각각의 적분인자는 다음과 같고, 필요할 때 계산하기 더 편한 적분인자로 골라서 사용하면 됩니다.

이를 통해 불완전 미분형을 완전미분형으로 바꿔 방정식을 풀 수 있습니다.

 

글이 길어져서 여기서 끊도록 하겠습니다.

다음 글에서는 매개변수변환법과 치환법에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

끝까지 읽어주셔서 감사합니다.