1. 3차원 상의 벡터와 벡터의 내적 1
이전 글에서 벡터에 대한 기본적인 개념과 정의들을 알아보고, 2차원 상의 벡터를 다뤄봤습니다.
하지만, 앞으로 다루게 될 벡터들은 대부분 3차원 상에서 동작하므로, 2차원 상의 벡터를 한 차원 더 확장시켜야 합니다.
따라서 이번 글에서는 3차원 상에서 벡터를 확인해보고자 합니다.
나아가 스칼라의 일반적인 곱과는 다른 벡터의 곱 방식인 내적과 외적을 다뤄보겠습니다.
먼저 3차원 상의 벡터도 2차원 상의 벡터와 유사합니다.
2차원 상에서는 xy좌표평면 상의 점들이 나타내는 값으로 벡터를 나타내었다면,
3차원 상에서는 z축을 추가하여 xyz 3개의 값으로 벡터를 나타낼 수 있습니다.
또한, z축도 이전글과 마찬가지로 각 축의 단위 벡터를 나타내는 i와 j 벡터 같은 k 벡터를 단위 벡터로 가집니다.
따라서 3차원상의 벡터는 아래와 같이 표기할 수 있습니다.
$$\vec{a}=\text{<x, y, z>=}x\hat i+y\hat j+z\hat k$$
$$\hat i=<1,0,0>,\hat j=<0,1,0>,\hat k=<0,0,1>$$
이러한 3차원 상의 벡터는 2차원과 동일한 특성도 보유하고 있습니다.
아래에서 그 특성들을 다뤄보겠습니다.
거리 공식(Distance Fomula)
2차원에서의 벡터의 크기, 즉 점과의 거리를 측정하는 방식이 3차원 상에서도 동일합니다.
벡터를 이루는 두 개의 점에서 x, y, z에 해당하는 각각의 성분의 차를 제곱하고 더한 뒤 제곱근을 씌워서 구할 수 있습니다.
$$P_1=(x_1,y_1,z_1), P_2=(x_2, y_2, z_2), d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$
중점 공식(Midpoint Fomula)
두 점 사이의 중점은 마찬가지로 xyz의 각각의 성분을 더하고 절반으로 나누면 됩니다.
$$M=\bigg(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\bigg)$$
이외에도 이전 글에서 다뤘던 덧셈, 스칼라 곱, 영 벡터 등의 여러 특성들이 동일하게 적용됩니다.
임의의 a와 b 벡터가 3차원 상에 있다고 가정해 보겠습니다.
덧셈(Addition)
$$\vec{a}+\vec{b}=<a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3>$$
뺄셈(Subtraction)
$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=<a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3>$$
스칼라 곱(Scalar Multiplication)
$$k\vec{a}=<ka_1,ka_2,ka_3>$$
항등성(Eqaulity)
$$\vec{a}=\vec{b}\text{ if and only if }a_1=b_1,a_2=b_2,a_3=b_3$$
음수(Negative)
$$-\vec{a}=(-1)\vec{a}=<-a_1,-a_2,-a_3>$$
영벡터(Zero Vector)
$$\vec{0}=<0,0,0>$$
크기(Magnitude)
$$\|\vec{a}\| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$
위에서 다룬 특성들에서 2차원과 3차원에서 여러 특성이 동일하게 적용된다는 사실을 확인할 수 있었습니다.
이 특성들은 앞으로도 계속 다루게 될 것이니 숙지하고 있는 것을 추천합니다.
이제 3차원 상의 벡터의 특성들을 알아봤으니 벡터의 연산자로 나아가 봅시다.
지금부터는 벡터의 곱으로 다뤄지는 내적(Dot Product)과 외적(Cross Product)을 알아보겠습니다.
배울 때는 어려울 수 있어도 익히다 보면 생각보다 쉽다는 것을 알게 되실 겁니다.
게다가 일반적인 스칼라의 곱하기처럼 내적과 외적도 빈번하게 사용되기에 확실히 숙지하고 넘어가시길 바랍니다.
2차원과 3차원을 나눠서 이해하기 쉽게 순서대로 설명드리겠습니다.
이번 글에서는 내적만 다뤄보겠습니다.
내적을 나타내는 부호는 점으로 이 때문에 영문명으로 Dot Product라고 부릅니다.
만약 임의의 벡터 2개가 있다고 가정했을 때 각 벡터들은 xy 혹은 xyz에 대한 성분들을 가집니다.
이때 만약 두 벡터를 내적 하면 각각의 성분끼리 곱하고 그 값을 더한 스칼라 값이 벡터의 내적 값이 됩니다.
따라서 내적이란 벡터끼리의 곱을 통해 스칼라를 만들어 내는 부호라고 이해하시면 됩니다.
$$\vec{a}=<a_1,a_2>,\vec{b}=<b_1,b_2>$$
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$$
$$\vec{a}=<a_1,a_2,a_3>,\vec{b}=<b_1,b_2,b_3>$$
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$
또한 이러한 벡터의 내적에는 별도의 특성이 있습니다.
아래에서 이를 종합적으로 다뤄보겠습니다.
따로 설명은 안 드리겠지만, 천천히 읽어가다 보면 충분히 이해하실 수 있습니다.
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=0\text{ if }\vec{a}=0\text{ or }\vec{b}=0\text{ 교환법칙(Commutative Law)}$$
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}\text{ 분배법칙(Distributive Law)}$$
$$\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})= \vec{a}\cdot \vec{b}+ \vec{a}\cdot \vec{c}$$
$$\vec{a}\cdot (k\vec{b})= (k\vec{a})\cdot \vec{b}=k( \vec{a}\cdot \vec{b})$$
$$\vec{a}\cdot \vec{a}\leq 0$$
$$\vec{a}\cdot \vec{a}=\|\vec{a}\|$$
이에 대한 증명은 별도로 하지 않을 테니 직접 증명해 보도록 합시다.
다음으로 내적은 두 벡터의 성분끼리의 곱 외에도 삼각함수로도 나타낼 수 있습니다.
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\| \vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos \theta$$
이때 쎄타 값은 두 벡터 사이의 각을 의미합니다. 이를 한 번 증명해 보도록 하겠습니다.
$$\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}=(b_1-a_1)\hat i+(b_2-a_2)\hat j+(b_3-a_3)\hat k$$
$$\|c\|^2=\|b\|^2+\|a\|^2-\|a\|\|b\|\cos \theta$$
$$\|a\|\|b\|\cos \theta=\frac{1}{2}(\|b\|^2+\|a\|^2-\|c\|^2)$$
$$\|a\|^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2, \|b\|^2=b_1^2+b_2^2+b_3^2$$
$$\|c\|^2=\|b-a\|^2=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2$$
$$\|a\|\|b\|\cos \theta=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=a\cdot b$$
이렇게 증명해 볼 수 있습니다. 그렇다면 이런 삼각함수를 포함하는 내적은 어떻게 사용할 수 있을까요?
여기서 내적에 대한 새로운 아이디어를 삼각함수를 이용해 도출할 수 있습니다.
코사인 삼각함수가 각에 따라 어떻게 변화하는지를 알아보면 내적이 어떻게 변하는지 확인할 수 있습니다.
아래의 4가지 경우를 보면서 내적에 대해 확인해 봅시다.
$$\theta =0, \cos \theta =1$$
두 벡터의 방향이 같으므로 평행하고 이때 내적 값은 최대가 됩니다.
$$\theta = \pi, \cos \theta = -1$$
두 벡터의 방향이 평행하지만 정반대 방향을 향하고 있고, 이때 내적 값은 음수가 되고 내적의 절댓값은 최대입니다.
$$\theta = \frac{\pi}{2}, \cos \theta =0$$
두 벡터가 서로 수직이고 이때 내적의 값은 0입니다.
$$0<\theta<\frac{\pi}{2}, \cos \theta >0$$
$$\frac{\pi}{2}<\theta<\pi, \cos \theta <0$$
두 벡터 사이의 각이 쎄타가 되면서 내적 값에 변화가 생깁니다.
이를 통해 만약 0이 아닌 임의의 벡터 두 개가 서로 수직이라면 그 내적 값은 0이고,
반대로 내적 값이 0이면 두 벡터는 수직이라는 사실을 확인해 볼 수 있습니다.
이점은 벡터를 다룰 때 자주 등장하는 사실이므로 확실히 숙지해 주시길 바랍니다.
이상으로 3차원 상의 벡터의 특징들과 벡터의 내적에 대해 알아봤습니다.
다음 글에서는 이번 글에서 못 다뤘던 벡터의 내적을 이용하는 방법들 몇 가지를 알아보고,
또 다른 벡터의 곱인 외적에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.
끝까지 읽어주셔서 감사합니다.