5. 특수해의 중첩 원리와 계수 축소법
이전 글에서 초기 값 문제가 발전한 경계 값 문제에 대해 배웠고, 선형 독립과 함께 일반해의 중첩 원리를 다루었습니다.
이번 글에서는 이전 글에서 못 다룬 특수해를 구하는 법에 대해 알아보고,
나아가 고계 미분방정식을 쉽게 풀 수 있도록 해주는 계수 축소법을 다뤄보도록 하겠습니다.
나아가기 앞서 이전에 다룬 내용을 한 번 더 되짚고 넘어가겠습니다.
이전 글에서 론스키안을 통해 선형독립을 확인하여 독립일 경우 중첩 원리를 적용할 수 있다고 했습니다.
따라서 구해진 모든 일반 해 들을 중첩 원리를 통해 더하면 여러 해가 연결된 하나의 해로 만들 수 있습니다.
그렇다면, 특수해는 어떻게 해야 할까요?
특수해도 일반해를 더한 해에 함께 더하면 됩니다.
$$y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots +c_ny_n+y_p$$
결국 미분방정식의 값은 특수해에 의해서 정해지고, 나머지 일반해들은 값이 0이 되기 때문에,
위의 식처럼 비제차 고계 미분방정식의 일반해를 구할 수 있습니다.
이때 앞부분의 해들의 합을 보조해(Complementary Solution)라고 하거나
혹은 제차 미분방정식을 풀어서 얻은 해라서 제차해(Homogeneous Solution)라고 하고,
나머지 특수해 부분은 똑같이 특수해(Particular Solution)라고 합니다.
$$y=y_c+y_p=y_h+y_p$$
여기서 잠깐, 위의 경우는 특수해가 1개인 경우입니다.
만약 미분방정식의 값이 복잡하여 특수해가 2개 이상 필요한 경우에는 어떻게 해야 할까요?
$$Ly_p=c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+c_nf_n(x)$$
이 경우 각각의 결과에 대응하는 특수해가 필요하므로, 복수의 특수해를 사용해야 합니다.
$$y_p=c_1y_{p_1}+c_2y_{p_2}+\cdots +c_ny_{p_n}$$
이는 이전 글에서 배운 중첩 원리를 통해 이해할 수 있습니다.
이제 어느 정도 미분방정식의 중첩 원리와 해의 형태에 대해 다룬 것 같습니다.
정리하자면, 미분방정식의 해 들은 서로 선형 독립일 때, 중첩 즉 결합이 가능하다고 할 수 있습니다.
이에 따라 해를 나타내면 다음과 같습니다.
$$ Ly=f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x)$$
$$y=Ay_c+By_p=Ay_h+By_p$$
$$ y=(a_1y_1+a_2y_2+\cdots +a_ny_n)+(b_1y_{p_1}+b_2y_{p_2}+\cdots +b_ny_{p_n})$$
다음으로 다뤄볼 내용은 계수 축소법(Reduction of Order)이라는 방정식의 다른 해를 찾는 방법입니다.
먼저 미분방정식의 하나의 해를 알고 있다고 합시다.
이때 또 다른 해가 만약 존재한다면, 두 번째 해는 첫 번째 해와 선형 독립입니다.
따라서 두 해를 서로 나눴을 때 값은 상수가 되지 않을 것입니다.
$$\frac{y_2}{y_1}=u(x)$$
$$y_2(x)=y_1(x)u(x)$$
이를 통해 두 번째 해를 구하는 방법으로 이는 해가 1개 있어야 사용할 수 있는 방법이라 계수 축소법이라 부릅니다.
일반적인 2계 미분방정식을 통해 예시를 들어보겠습니다.
$$ y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$
$$y_2=uy_1 / y_2'=u'y_1+uy_1' / y_2''=u''y_1+2u'y_1'+uy_1''$$
위의 식들을 대입해서 정리하면,
$$y_2''+P(x)y_2'+Q(x)y_2=u''y_1+2u'y_1'+uy_1''+P(x)( u'y_1+uy_1')+Q(x)uy_1$$
$$=u''y_1+u'(2y_1'+P(x)y_1)+u(y_1''+P(x)y_1'+Q(x)y_1)$$
이때 세 번째 항의 괄호 안의 값은 0이 되므로
$$=u''y_1+u'(P(x)y_1+2y_1')$$
$$w=u' / =w'y_1+w(P(x)y_1+2y_1')=0$$
$$\frac{dw}{dx}y_1+wP(x)y_1+2w\frac{dy_1}{dx}=0$$
$$\frac{dw}{w}+P(x)dx+2\frac{y_1'}{y_1}dx=0$$
적분하여 풀면,
$$\ln|w|+\ln|y_1^2|+\int P(x)dx=C$$
$$\ln|wy_1^2|=-\int P(x)dx+C$$
$$wy_1^2=e^{-\int P(x)dx+C}=c_1e^{-\int P(x)dx}$$
다시 w를 u로 변환하고,
$$w=u' / u'=c_1\frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}$$
$$u=c_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2$$
$$y_2=c_1y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2y_1$$
이때 첫 번째 항의 계수는 일반해이기에 중요하지 않으므로 임의로 1로 넣고,
두 번째 항은 y_1과 의존적이므로 계수를 0으로 하여 없애면
$$c_1=1 / c_2=0$$
$$y_2=y_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx$$
다음의 해를 만들 수도 있습니다.
또한, 중첩 원리를 통해 결합하면, 다음과 같습니다.(이때의 계수는 위와 다르게 임의로 넣은 것임)
$$y=c_1y_1+c_2y_2=c_1y_1+c_2y_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx$$
이렇게 계수 축소법(차수 축소법)을 통해 미분방정식의 또 다른 해를 구해봤습니다.
또한, 중첩원리가 특수해에는 어떻게 적용되는지 알아보면서 일반해와 특수해를 결합해 하나의 해로 만들어봤습니다.
다음 글에서는 좀 더 복잡한 해들의 결합을 다뤄볼 예정입니다.
끝까지 읽어주셔서 감사합니다.